斐波那契和连分数
回忆一下斐波那契发现的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，我们在第5章中进行了介绍。从这个数列中取一对相邻的数，将它们的比写成1加上一个分数。现在，如果我们“埃及化”这个分数，也就是反复地让分数部分的分子分母同除以分子，就会出现一个引人注目的规律。比方说
我们得到了一个仅含有1的多层分数，并且随着计算持续进行，选出的这对相邻数之前的每对斐波那契数的比值会依次出现。这样的现象每次都会发生：正是由于这些数的定义，每个斐波那契数都比下一个的两倍要小，因而相除之后会得到商1，余数则是前一个斐波那契数。你也许想起来，相邻斐波那契数的比值趋近于黄金分割比——τ，这说明τ是仅由1构成的连分数的极限值。
从这个过程中产生的连分数本身就有重要意义。当用有理数来近似任意一个无理数y的时候，我们会自然地使用y的小数表示。这非常适用于一般的计算，但是在数学上，依附于一个特定的底数却不太自然。本质问题在于，我们能多好地用分母相对较小的分数来逼近y。有没有一种办法，能找到一系列的分数，既能高精度地逼近y，同时又保持较小的分母，在这两个矛盾的要求中取得最佳平衡？答案就在于一个数的连分数表达形式，并通过越来越多层的截断实现这一目的。